包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。实数是不可数的，实数是实数理论的核心研究对象。

加法定理

1.1.对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R；

1.2.加法有恒元0，且a+0=0+a=a（从而存在相反数）；

1.3.加法有交换律，a+b=b+a；

1.4.加法有结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。

乘法定理

2.1对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R；

2.2乘法有恒元1，且a·1=1·a=a（从而除0外存在倒数）；

2.3乘法有交换律，a·b=b·a；

2.4乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c)；

2.5乘法对加法有分配率，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

实数

基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

性质

封闭性

实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

性质

有序性

实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b。

传递性

实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c。

阿基米德性

实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b。

稠密性

实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。