一、函数的定义域及原则

1、定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系$f$，使对于集合A中的任意一个数$x$，在集合B中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么就称$f:A \to B$为从集合A到集合B的一个函数，计作 $y=f(x)，x\in A$。其中，$x$叫做自变量，$x$的取值范围A叫做函数的定义域.

2、确定函数定义域的原则

(1) 当函数$y=f(x)$用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数$x$的集合.

(2) 当函数$y=f(x)$用图象给出时，函数的定义域是指图象在$x$轴上的投影所覆盖的实数$x$的集合.

(3) 当函数$y=f(x)$用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数$x$的集合.

(4) 当函数$y=f(x)$由实际问题给出时，函数的定义域受问题的实际意义限制.

提醒：函数的定义域是非空数集.

二、函数的定义域相关例题

求下列函数的定义域

(1) $y=2x+3；$

(2) $f(x)=\frac{1}{x+1}；$

(3) $y=\sqrt{1-x}+\frac{1}{x+5}；$

(4) $y=\frac{3}{1-\sqrt{1-x}}$.

答案：

(1) $\{x\mid x \in R\}$

(2) $\{x \mid x \not=-1\}$

(3) $\{x\mid x \le1且x\not=-5\}$

(4) $\{x\mid x \le1且x\not=0 \}$

解析：

(1) 函数 $y=2x+3$的定义域为$\{x\mid x \in R\}$.

(2) 要使函数有意义，则有$x+1\not=0，x \not= -1.$ 故函数的定义域为$\{x \mid x \not=-1\}$.

(3) 由已知得 $\begin{cases}1-x \geqslant 0,\\x+5\not=0, \end{cases}$解得$x \leq 1$且$x\not=-5$.

故所求定义域为$\{x\mid x \le1且x\not=-5\}$.

(4) 由已知得$\begin{cases} 1-x\ge0,\\1-\sqrt{1-x}\not=0, \end{cases}$解得$x \le1且x\not=0$.

故所求定义域为$\{x\mid x \le1且x\not=0 \}$.